Е.Д.Смирнова

К вопросу построения семантик
формализованных и естественных языков

(Роль основного принципа
теории семантических категорий)*

В статье рассматриваются условия построения семантик формализованных языков на базе теории семантических категорий, исследуется роль основного принципа этой теории.

Согласно А.Тарскому, семантика как строгая наука может быть построена только для языков с точно заданной структурой. В таких языках принадлежность к классу термов, формул (предложений), аксиом, выводов устанавливается эффективным образом. Примером такого рода языков являются формализованные языки. В этом случае имеются процедуры, позволяющие выделять эффективным образом указанные классы выражений только по виду символов и способам их сочленения, не прибегая к их смыслу и значению. Такое описание языка является чисто формальным и относится к синтаксису.

Следует различать задачу выявления логической формы высказываний и ее репрезентации в знаковой форме и вопросы формализации. Для того, чтобы освободиться от «материи» суждения, вводятся соответствующего типа переменные. Таким путем получаем, например, репрезентацию логической формы в силлогистике. Однако языки силлогистики не являются формализованными, хотя логическая форма представлена в них в знаковой форме адекватным образом. В записи: SaР, SeP и т.д. фиксируются вполне определенные содержательные, семантические отношения в сфере объемов понятий S и P. И именно апеллируя к свойствам этих отношений мы обосновываем правильные рассуждения в силлогистике.

В случае же выводов в формализованных языках мы обращаемся лишь к видам знаков и их комбинаций. Но смысл построения такого рода языков не сводится к отвлечению от всякого содержания и обращению только к знаковым комбинациям. Главное — вопрос эффективности. В случае формализованных языков речь идет о языках, построенных как исчисления.

Существуют разные пути уточнения понятия механической, эффективной процедуры. Понятие эффективной операции может быть уточнено, например, в терминах машины Тьюринга или нормального алгоритма Маркова. Интересно, что понятия формальной системы и эффективной операции внутренне связаны и одно может быть определено через другое. Выразимость в языке, в формальной системе определенного стандартного типа свойств, отношений, операций служит показателем эффективности. Так, если предикат (класс) R рекурсивно определим (Т-определим) в первопорядковой арифметике P (где Т — класс теорем системы), то он разрешим (рекурсивен), а если предикат (класс) рекурсивно перечислим, то он семантически определим (Tr-определим) в P. Любой рекурсивный предикат Т-определим в P [5[, [6].

Фактически реализуется своеобразная идея, высказанная еще Э.Кондильяком: язык — не только средство общения, но и аналитический метод. «Если бы люди заметили, что языки также являются аналитическими методами, было бы нетрудно найти правила искусства рассуждать» [1, с. 240]. Этот подход к языку как инструменту познавательной деятельности в дальнейшем активно реализуется Г.Лейбницем и особенно Г.Фреге. Искусственные, формализованные языки вовсе не противопоставляются при этом естественным языкам, у них задачи разные.

Каковы же пути и способы интерпретации формальных систем, построения адекватных семантик? Как отмечал А.Тарский, именно семантические понятия пользовались «дурной славой» и введение их точным, корректным образом — основная задача. Далее, важно выяснить, каков должен быть метаязык, его концептуальный аппарат, средства метатеории, адекватные для построения семантики объектной теории.

Как нам представляется, построение семантики формальной системы предполагает принятие определенной типологии смыслов — категорий значения. Выражениям определенного типа, структуры, сопоставляются определенные виды значений. Семантические правила интерпретации реализуют такое сопоставление. Типология символов, задаваемая на уровне правил образования, представляет собой формальное разграничение выражений языка по чисто синтаксическим признакам и принадлежит синтаксису.

Построение семантики того или иного языка базируется на (явном или неявном) принятии системы семантических категорий. Разработка иерархии семантических категорий, т.е. определенной типологии значений, определяется предпосылками скорее философского, теоретико-познавательного характера, а не соображениями прагматического толка. Именно система семантических категорий определяет, на наш взгляд, то, что называют «миром языка», его онтологией. Таким образом, принимаемая система семантических категорий является важной характеристикой формализованных языков.

Иерархия семантических категорий, положенная в основу формализованного языка, обуславливает способ анализа логической формы выражений этого языка и тем самым допустимые способы рассуждения. Так, язык стандартной логики (систем фреге-расселовского типа) и язык системы онтологии Лесневского отличаются прежде всего тем, что в их основе лежат разные системы семантических категорий. В качестве основных категорий в языках фреге-расселовского типа выступают собственные имена (имена предметов индивидной области) и высказывания. Общие имена, типа «металл», «человек», «электропроводное вещество» и т.д. , относятся не к категории имен, а к категории s/n, т.е. рассматриваются как одноместные предикаты. В силу этого в языках фреге-расселовского типа субъект и предикат высказывания не могут принадлежать к одной и той же семантической категории, в то время как в силлогистике и онтологии Лесневского — могут. По существу меняется само понятие предиката.

Построение теории семантических категорий становится базой для разработки определенной типологии самих языков. Языки, во-первых, могут различаться исходными категориями и способами конструирования производных. Далее, они могут отличаться тем, как соотносятся синтаксические и семантические категории — иными словами тем, какие категории выражений расцениваются как значащие, а какие — как неполные символы, синкатегорематические выражения. Наконец, языки могут различаться по числу и порядку категорий значения (классификация Тарского).

Определенные трудности, с которыми мы сталкиваемся при построении семантик для формализованных языков различной структуры, прежде всего связаны с многообразием и типом семантических категорий, к которым принадлежат выражения этих языков. Они зависят от того, принадлежат ли выражения и (квантифицируемые) переменные языка к конечному или бесконечному числу семантических категорий. В последнем случае существенно, ограничен ли сверху порядок этих семантических категорий.

Подробнее относительно классификации языков по методу Тарского см. [2, гл. II, § 4]. Тарский предлагает разграничивать языки в зависимости от того, к каким семантическим категориям принадлежат встречающиеся в этих языках переменные. Соответственно, выделяются четыре типа языков:

1. языки, в которых все переменные относятся к одной семантической категории (напр., язык исчисления классов, рассмотренный Тарским [7, § 2-3], или язык исчисления высказываний с кванторами по пропозициональным переменным);

2. языки, в которых число категорий, к которым принадлежат переменные, больше 1, но конечно (напр., одноместное исчисление предикатов с кванторами по предикатным переменным);

3. языки, в которых переменные принадлежат к бесконечному числу различных семантических категорий, но порядок этих категорий конечен, т.е. не превосходит некоторое данное число n (напр., исчисление предикатов 2-го порядка);

4. языки, содержащие переменные сколь угодно высокого порядка (напр., язык простой теории типов).

Языки первых трех типов Тарский называет языками конечного порядка в противоположность языкам четвертого типа — языкам бесконечного порядка.

Разработанный Тарским метод определения понятия истинного высказывания для языка исчисления классов [7, § 3] полностью может быть применен к любым языкам первого типа.

Серьезные трудности возникают тогда, когда мы переходим к языкам более сложной структуры, т.е. к языкам 2-го, и 3-го и особенно 4-го типов. Объектом нашего рассмотрения фактически выступают средства, концептуальный аппарат метатеории, в которой строится определение понятия истинного высказывания объектного языка.

Согласно основному принципу теории семантических категорий, каждое выражение языка принадлежит к одной и только одной семантической категории. По определению два выражения относятся к одной и той же семантической категории, если 1) имеется пропозициональная функция (высказывание), содержащая одно из этих выражений и, если 2) пропозициональная функция (высказывание), содержащая одно из этих выражений, не теряет характера пропозициональной функции (высказывания) в случае замены одного содержащегося в ней выражения на другое.

Принимается, что для того, чтобы два выражения принадлежали к одной семантической категории, достаточно, чтобы имелась хотя бы одна пропозициональная функция (высказывание), которая содержала одно из этих выражений и оставалась бы пропозициональной функцией (высказыванием) после замены этого выражения на другое. Этот принцип называют основным принципом теории семантических категорий и он кладется в основу построения формализованных языков и их семантик. Таким образом, категория значения (семантическая категория) выражения в такого рода языках остается контекстно независимой. И два выражения, принадлежащие к различным семантическим категориям, выступают как два различных выражения языка.

При построении семантики и введении таких семантических понятий как выполнимость и, соответственно, истинность возникает проблема неоднозначности вводимых понятий. Уже в случае языков 1-го типа, рассматривая понятие выполнимости пропозициональной формулы одним, двумя, тремя и т.д. объектами — в зависимости от числа попарно различных переменных, входящих в формулу, Тарский отмечает, что такое понятие выполнимости является семантически неоднозначным: оно охватывает отношения с различным числом аргументных мест, а такого рода отношения (точнее, соответствующие им языковые выражения) заведомо принадлежат к различным семантическим категориям.

Однако добиться семантической однозначности термина выполнимости для языков 1-го типа не представляет никакой принципиальной трудности. Именно с этой целью Тарский вводит понятие последовательности индивидов, поскольку все такого рода последовательности принадлежат к одной и той же семантической категории. Напомним, что бесконечная последовательность определялась как бинарное (однозначное) отношение, областью которого является множество объектов рассмотрения, а противообластью — класс целых положительных чисел. Аналогично термин «конечная n-членная последовательность» означает бинарное (однозначное) отношение, противообласть которого состоит из всех натуральных чисел k таких, что 1 ? k ? n. Отсюда не существует последовательностей (в отличие от упорядоченных n-ок) объектов, члены которых принадлежали бы к различным семантическим категориям. Бинарные отношения принадлежат к одной и той же семантической категории, если и только если их области принадлежат к одной и той же категории и их противообласти также принадлежат к одной и той же семантической категории. Таким образом, все последовательности объектов одной категории, независимо от числа их членов, принадлежат к одной и той же семантической категории (опять-таки в отличие от упорядоченных n-ок). Иными словами, последовательности принадлежат к одной и той же семантической категории, если и только если члены этих последовательностей принадлежат к одной и той же семантической категории. Тарский определяет понятие «последовательность объектов f выполняет формулу a " — Вып(f,a), представляющее собой бинарное отношение, и достигает семантической однозначности понятия выполнимости. Трудности возникают, когда мы переходим к языкам более сложной структуры, т.е. к языкам 2-го, 3-го и особенно 4-го типов.

Столь скрупулезный анализ вводимых метапонятий связан с задачей исследования категориальной структуры метаязыка, а это в свою очередь дает путь к оценке выразительных возможностей языка, к выявлению тех средств, которые необходимы для построения семантики соответствующего объектного языка.

Однако уже в языках 2-го типа переменные принадлежат более чем к одной семантической категории, хотя число категорий конечно. В такого рода языках семантическая категория предиката выполнимости зависит не только от числа мест этого предиката, но и от семантических категорий переменных, входящих в пропозициональные формулы языка. Вообще говоря, семантическая категория любого предиката зависит не только от числа его аргументных мест, но и от семантических категорий его аргументов. Точно так же обстоит дело с семантической категорией предиката выполнимости. Так, если язык содержит два вида переменных, принадлежащих к двум различным семантическим категориям, то приходится, соответственно, рассматривать по меньшей мере два вида последовательностей, принадлежащих к двум различным семантическим категориям.

В качестве примера такого рода языка Тарский рассматривает логику бинарных отношений с кванторами по индивидным и по предикатным переменным.

Пусть xI, xII, xIII, ... бесконечный перечень индивидных переменных, т.е. , переменных 1-го порядка.

R1, R2, R3, ... — переменные 2-го порядка. Элементарной пропозициональной формулой является выражение вида Xyz, где вместо Х выступает любая переменная 2-го порядка, а вместо y и z — любые переменные 1-го порядка. Символом «vk» обозначим k-ую переменную первого вида, а символом «Vk» — k-ую переменную 2-го порядка. Посредством r k,l,m обозначим элементарную формулу так, что r k,l,m = ((Vk^vl)^vm).

Между свободными переменными формул и объектами их выполняющими имеет место строгое семантическое соответствие: каждая свободная переменная принадлежит к той же семантической категории, что и имена объектов, ей приписываемых. Если формула содержит свободные переменные 2-х различных семантических категорий, то при определении выполнимости мы должны оперировать с последовательностями, члены которых принадлежат к соответствующим 2-м различным категориям.

Для любых языков с конечным числом семантических категорий в принципе не сложно несколько модифицировать метод, примененный к языкам 1-го типа [7, § 3], таким образом, чтобы понятие выполнимости (а затем, соответственно, и понятие истинного высказывания) имело семантически однозначный характер.

Тарский предлагает два способа такой модификации.

1. метод многострочных последовательностей и

2. метод унификации (объединения) переменных,

Для языка логики бинарных отношений первый метод состоит в том, что понятие выполнимости рассматривается как трехчленное отношение — Вып(f,F,a), где f — последовательность индивидов, F — последовательность бинарных отношений, a — формула рассматриваемого языка. Соответственно, fkk-й член последовательности индивидов, а Fkk-ый член последовательности бинарных отношений. Мы говорим, что последовательности f и F совместно выполняют формулу r k,l,m, если и только если между индивидами fl и fm имеет место отношение Fk. Можно трактовать понятие выполнимости и как бинарное отношение между двустрочными последовательностями и формулами. Под двустрочной последовательностью f имеется в виду отношение, которое каждому натуральному числу однозначно ставит в соответствие упорядоченную пару <f,F>, состоящую из последовательности индивидов и последовательности бинарных отношений. Переменной вида vk сопоставляется k-ый член первой строки последовательности y 1k = fk, а переменной вида Vkk-й член второй строки последовательности y , т.е. y 2k=Fk. Индуктивные пункты определения выполнимости обычны.

Описанный метод легко распространить на любые языки со сколь угодно большим, но конечным числом семантических категорий переменных. В этом случае можно пронумеровать категории, а всем переменным приписать индексы таким образом, чтобы верхний индекс, например, указывал номер соответствующей категории. Если язык содержит n различных категорий переменных, рассматриваются, соответственно, n-строчные последовательности. Для данного фиксированного числа n все такого рода n-строчные последовательности принадлежат к одной и той же семантической категории. Переменной вида Vki приписывается k-тый член i-той строки последовательности, где 1 ? i ? n.

Однако метод многострочных последовательностей не применим для определения понятия выполнимости для языков с бесконечным числом семантических категорий переменных, хотя и конечного порядка (т.е. для языков 3-го типа в классификации Тарского). В этом случае можно применить метод семантической унификации, или семантического объединения, переменных. Идея состоит в том, что если у нас порядок категорий конечен, то бесконечное число семантических категорий переменных может быть сведено к конечному числу для каждого данного порядка. В целом получаем конечное число семантических категорий и можно применять метод многострочных последовательностей. Естественно, метод семантического объединения переменных применим и к языкам 2-го типа.

В случае логики бинарных отношений — с индивидными и двуместными предикатными переменными каждому индивиду а можно однозначным образом сопоставить некоторое бинарное отношение, обозначим его a* так, что различным индивидам сопоставятся различные бинарные отношения. Всегда можно найти эффективную функцию f, отображающую множество индивидов на подмножество множества пар индивидов. Так, каждому индивиду a можно сопоставить множество, состоящее из одной пары индивидов, первый и второй члены которой тождественны а. Иными словами, a* есть бинарное отношение R, удовлетворяющее условию:

" x" y((R(x,y)? (x=a)&(y=a))&" z" u((R(z,y)E (x=z))&(R(x,u)E (y=u))))

Таким путем каждому классу индивидов однозначным образом сопоставится класс бинарных отношений указанного вида. Все константы сохраняют свое прежнее значение, а все переменные как 1-го, так и 2-го порядка пробегают по бинарным отношениям. С синтаксической точки зрения переменные по-прежнему принадлежат к двум различным категориям, а в семантическом плане, в силу придаваемой им интерпретации, — к одной и той же семантической категории (категории бинарных отношений). Соответственно, рассматриваем последовательности, принадлежащие к одной семантической категории — последовательности бинарных отношений. Каждой переменной вида vk приписывается член последовательности с индексом 2k-1, а переменной второго порядка Vk — член последовательности с индексом 2k. Последовательность бинарных отношений F выполняет элементарную формулу r k,l,m = ((Vk^vl)^vm), если и только если $ a$ b((aF2kb)&(Fl-1=a*)&(Fm-1=b*)), т.е. (2l-1)-й и (2m-1)-й члены последовательности F представляют собой такие отношения a* и b*, что между соответствующими им индивидами имеет место отношение F2k. Таким образом, отношение F2k, приписанное предикатной переменной Vk, имеет место между индивидами, но переменным vl и vm приписаны отношения, сопоставленные одно-однозначным образом этим индивидам.

Объединяющая семантическая категория не может иметь порядок ниже порядка встречающихся в языке категорий. Для всякого языка 2-го типа (т.е. с конечным числом семантических категорий) всегда можно найти объединяющую семантическую категорию, и даже не одну, порядок которой будет n, если n — наивысший порядок встречающихся в языке категорий переменных (как это и было показано в случае языка логики бинарных отношений).

Примером языка 3-го типа может служить исчисление предикатов 2-го порядка (с кванторами по индивидным и предикатным переменным). К 1-му порядку относится категория индивидных переменных. Предикатные переменные принадлежат к бесконечному числу семантических категорий. Но все категории предикатных переменных имеют порядок 2. В качестве унифицирующей семантической категории, объединяющей все предикатные переменные, могут выступать классы конечных последовательностей индивидов. Каждому n-членному отношению Rn можно одно-однозначным образом сопоставить определенный класс n-членных последовательностей индивидов — обозначим его R*; n-членному отношению Rn сопоставляется класс тех и только тех конечных последовательностей индивидов, между соответствующими членами которых, т.е. f1, f2, ... fn имеет место отношение Rn: " f(fI R*? R(f1, f2, ... fn)).

Теперь каждому n-членному отношению однозначно сопоставлен класс конечных последовательностей индивидов. Напомним, что все последовательности индивидов, независимо от числа их членов, принадлежат к одной и той же семантической категории. Собственно, и классы таких конечно-членных последовательностей — в противоположность многоместным отношениям — принадлежат к одной и той же семантической категории.

Заметим, что в случае арифметизации синтаксиса такого рода конечно-членные последовательности индивидов могут быть эффективным образом пронумерованы — однозначным образом отображены на множество натуральных чисел. Тогда вместо конечно-членных последовательностей говорят о числах, их представляющих. Каждому многочленному отношению R, в таком случае, сопоставится однозначным образом класс чисел, номеров соответствующих конечночленных последовательностей, принадлежащих R*.

Посредством такого искусственного приема можно сохранить семантическую однозначность понятия выполняемости для языков, содержащих переменные, принадлежащие к бесконечному числу семантических категорий; при формализации такого рода семантической теории мы обходимся одним термином выполнимости и, соответственно, истинности.

Метод семантической унификации переменных позволяет использовать при определении понятий выполнимости и истинности те методы, которые использовались для языков с конечным числом семантических категорий — языков 2-го типа. Можно, например, использовать тот же метод многострочных последовательностей и ввести понятие «последовательность индивидов f и последовательность F классов конечных последовательностей индивидов совместно выполняют формулу (...((Vk^v1)^v2)...^vn).

Остальное связано с чисто техническими деталями. Нужно задать метод однозначного приписывания переменным вида Vkn соответствующих членов последовательности F. С этой целью можно использовать любую арифметическую функцию, нумерующую пары, т.е. такую функции как J2 (k,l), которая каждой паре чисел k, l сопоставляет единственное число m. Тогда каждой переменной вида Vkn однозначно сопоставится член последовательности F за номером J2(n,k). Например, двуместной k-той предикатной переменной Vk2 сопоставится член последовательности .

Индивидным переменным вида vk обычным образом приписываются члены последовательности индивидов f. Мы будем говорить, что упорядоченная пара последовательностей <f,F> выполняет элементарную формулу вида (Vkn^v1^v2^...^vn), если и только если n-членная последовательность g такая, что (" i)[(1 ? i ? n)E (fi=gi)] входит в тот класс n-членных последовательностей R*, который приписывается последовательностью F переменной Vk, т.е. входит в класс .

Выполнимость и истинность сложных формул определяется индуктивно, аналогично тому, как это делалось для языков 1-го и 2-го типа с конечным числом семантических категорий переменных.

Метод объединения переменных в одну семантическую категорию может применяться к любым языкам 3-го типа. Единственная трудность, которая здесь может возникнуть, заключается в нахождении объединяющей категории. Как мы отмечали, категория, избранная в качестве объединяющей, должна иметь порядок не ниже наивысшего порядка категорий переменных, встречающихся в этом языке. Можно показать, что для любого языка с переменными, порядок которых не превосходит данное число n (n>3), объединяющей категорией может служить любая категория порядка n. Если же выражения языка принадлежат к категории порядка меньше n и при этом арифметическим переменным, пробегающим по числам, приписывается порядок 3, то для такого языка объединяющую категорию нельзя выбрать среди категорий тех порядков, которые встречаются в этом языке. Подводя итог, можно сказать, что рассмотренные методы позволяют уточнить понятие выполнимости и тем самым построить формально корректное определение истинности для любых языков конечного порядка.

Предложенные А.Тарским методы связаны с преодолением семантической неоднозначности вводимых понятий. Дело в том, что такого рода неоднозначность Тарский рассматривал как вопрос принципиального характера, если мы хотим построить корректные определения вводимых семантических понятий. Формализованные языки могут различаться на чисто формальном, синтаксическом, уровне — видом символов, способами конструирования сложных выражений и т.д. Однако формализованные языки дедуктивных теорий имеют некоторую общую базу — принципы построения, коренящиеся в семантике. В основе таких языков лежит теория семантических категорий. Именно семантические категории определяют правила интерпретации формализованных языков, типы сущностей (значений), приписываемых знакам языка. Более того, именно логические системы предоставляют — актуально или потенциально — все те семантические категории, которые выступают в языках дедуктивных наук. А. Тарский полагал, что теория семантических категорий столь глубоко проникает в структуру выражений такого рода языков, что вряд ли можно представить себе язык дедуктивной теории, который не отвечал бы принципам этой теории. «Мне тогда казалось, — писал он в резюме своей основополагающей работы, — что теория семантических категорий так глубоко проникает в фундаментальный, интуитивно постигаемый смысл выражений, что едва ли возможно представить себе научный язык, высказывания которого обладают четким содержательным смыслом и построение которого в то же время не может быть согласовано с этой теорией в одном из ее толкований» [7].

В основе такого рода формализованных языков прежде всего лежит определенный метод анализа структуры выражений и репрезентации их логической формы (2, гл. II). Анализ начинается с высказываний, сложные выражения членятся по схеме: функтор и его аргументы. Способ такого анализа аналогичен принятому в языках математики. Категория функтора определяется числом и категориями его аргументных выражений. В правильно построенных выражениях («синтаксически связанных» — в терминологии К.Айдукевича) за функторным выражением следует соответствующее число аргументных выражений точно заданных категорий.

Другое дело, что возможны разные системы семантических категорий в зависимости от того, какие категории принимаются за исходные, а также от того, всем ли синтаксическим категориям сопоставляются семантические. Так, если в качестве исходной семантической категории выступает только категория имен — n, выражения категорий s/s, s/ss, ... , например логические связки, выступают как синкатегорематические знаки, аналогично встает вопрос о категориях кванторов и операторов [2, гл. II], [3, гл. 4, § 4].

При установлении принадлежности двух выражений к одной семантической категории при указанном пути выявления категорий выражений языка мы не можем перебрать бесконечное множество высказываний, в которые входят или могут входить эти выражения, — заменяя их одно на другое. Принимается упомянутый выше основной принцип теории семантических категорий, принцип, не связанный с построением системы семантических категорий. Но этот принцип определяет условие приписывания семантических категорий выражениям языка.

Указанный принцип кажется вполне приемлемым для формализованных языков, поскольку семантические правила интерпретации приписывают заданным в синтаксисе категориям знаков определенные типы сущностей (значений). Однако уже при введении семантических понятий мы сталкиваемся с неоднозначностью, связанной именно с принятием основного принципа теории семантических категорий. Одно и то же понятие должно быть отнесено к разным семантическим категориям. Другое дело, что эти трудности, как мы видели выше, могут быть преодолены для языков конечного порядка посредством искусственных, технических приемов. Вопрос заключается в роли и универсальной значимости основного принципа.

Принятие (или не принятие) основного принципа теории семантических категорий, на наш взгляд, связано с разграничением стабильных и контекстно зависимых значений. Я предлагаю различать «стабильные» значения, задаваемые принимаемой иерархией семантических категорий, и типы смыслов (значений), которые задаются контекстами, зависят от принимаемых способов интерпретации выражений языка, способов приписывания значений выражениям.

Для естественных языков роль основного принципа — это вопрос контекстной зависимости значений выражений языка и их типологии. Можно ли говорить о стабильных типах значений — категориях значения — независимо от контекстов употребления?

Принятие основного принципа применительно к естественным языкам по крайней мере сомнительно. Логико-семантический метод анализа применим к контекстам естественного языка, он позволяет выявлять типы значений выражений языка, уточнять их семантику. Однако в конечном счете смысл выражения языка определяется способом употребления его в языке, контекстом. Можно выделить два плана анализа выражений естественного языка. Можно исследовать «стабильные» значения. Это план референциального, репрезентативного аспекта языка, Другое дело — функционирование языка как системы и, соответственно, правил употребления выражений в этой системе, зависимость смысла от «языковых игр».

Анализируя языковой знак, семантику выражений естественного языка, Фердинанд де Соссюр выделял два аспекта знака: понятие и акустический образ или, соответственно в иных терминах, — означаемое и означающее. Другое дело — тот смысл, то значение, которое приобретает выражение в контексте. Это особое значение, приобретаемое выражениями в силу их функционирования в языке как системе, Ф. де Соссюр называл значимостью. (Сравни значение слова «солнце» в контекстах: «Солнце светит и греет» и «греться на солнце».) «Когда ради простоты я говорю, что данное слово что-то означает, когда я исхожу из ассоциации акустического образа с понятием, то я этим утверждаю то, что может быть верным лишь до некоторой степени...» [4, с. 150]. «Но вот в чем парадоксальность вопроса: понятие представляется нам как то, что находится в соответствии с акустическим образом внутри знака, а, с другой стороны, этот знак, то есть связывающее оба его компонента отношение, так же и в той же степени находится в свою очередь в отношении соответствия с другими знаками языка. Раз язык есть система, все элементы которой образуют целое, а значимость одного элемента проистекает только от одновременного наличия прочих... , то спрашивается, как определенная таким образом значимость может быть спутана со значением, то есть с тем, что находится в соответствии с акустическим образом?» [4, с. 147] (выделено мной Е.С.). Значимости — это фактически те смыслы, которые задаются функционированием выражений в языке — «позицией в шахматной игре», а не исходным «значением» фигур.

Мы приходим к тому, что в языке приходится разграничивать два плана значений: значения, связанные с референциальным аспектом языка, и контекстно зависимые значения. В определенных случаях последние могут быть связаны с коммуникативным аспектом языка, с прагматикой, «языковыми играми», наконец. «Спор» позднего Витгенштейна с ранним, на мой взгляд, — это спор исследователя этих двух разных аспектов функционирования языка («язык и онтология» и «язык и деятельность, коммуникация»).

Основной принцип теории семантических категорий связан с вопросом выделения стабильных значений в отличие от контекстно зависимых. Типология значений выражений в естественных языках сохраняется. Более того, те методы логико-семантического анализа, которые разработаны для искусственных языков, позволяют более точно репрезентировать структуру выражений, позволяют выявлять и характеризовать семантические типы выражений естественного языка (напр., выделять предметные функторы n/n : «вес тела», «король Франции», «скорость света»; предикаторы — s/n, s/nn, ... : «бел», «старше», «король», «отец»).

Однако с логической точки зрения выражение «мать» в контекстах «Анна — мать Петра» и «Анна — мать» и выражение «король» в контекстах «Людовик XIV — король» и «король Франции» принадлежат к разным семантическим категориям (бинарный и унарный предикаты, соответственно; предметный функтор и предикатор во втором примере). Если принимается основной принцип теории семантических категорий, то слово «мать» (аналогично, «король») в этих двух контекстах принадлежит к двум разным семантическим категориям, имеет иной тип значения и как бы представляет с логической точки зрения два различных выражения. Если же не принимать основной принцип, то это означает, что одно и то же выражение (слово) в разных контекстах может принадлежать к различным семантическим категориям, т.е. это означает семантическую неоднозначность выражения.

Отметим, что для построения иерархии семантических категорий основной принцип не нужен. Выделяются исходные категории, постулируются способы построения производных — получаем определенную систему семантических категорий. Другое дело — вопрос отнесения выражений языка к определенным семантическим категориям. В этом случае вступает в силу основной принцип.

Одно дело — построение определенной системы семантических категорий, другое — выделение семантических категорий некоторого фиксированного языка, принцип разбиения их на непересекающиеся классы. Следует четко различать эти два вопроса. Проблемы с основным принципом теории семантических категорий возникают именно в связи с отнесением выражений языка к определенным семантическим категориям. Всегда ли возможно такое однозначное отнесение?

Однако само понятие семантической категории вводится, как отмечалось, на основании понятия «принадлежать к одной семантической категории». Последнее же опирается на условие замены выражений a и b в высказываниях. На основании свойств отношения «принадлежать к одной семантической категории» (отношения типа равенства) все выражения языка разбиваются на непересекающиеся классы (категории значения). Однако если основной принцип не действует, это ставит под сомнение непересекаемость указанных классов, стабильность типов значений.

Для формализованных языков приписывание стабильных значений осуществляется в метаязыке, определяется правилами, задаваемыми в семантике. Таковыми, например, являются правила приписывания значений индивидным и предикатным константам. Однако неполным символам, выражениям, не являющимся десигнативными (логические связки, операторы, дескриптивные имена), значения не могут приписываться таким путем; эти выражения не имеют самостоятельного значения в изоляции. Но можно дать явное определение контекстов, в которые они входят, т.е. неполные символы вводятся посредством контекстуальных определений. Для дескрипций, трактуемых по Расселу, например:

B((i x)Ax) ? $ x" y(A(y)E y=x&B(x)).

Однако введенные посредством контекстуальных определений неполные символы не меняют значений от контекста к контексту, здесь иной принцип зависимости от контекста.

Семантические правила интерпретации для формализованных языков таковы, что фактически реализуется основной принцип, хотя он не нужен ни для построения иерархии семантических категорий, ни для отнесения выражений таких языков к определенным семантическим категориям. Семантические правила интерпретации обеспечивают отнесенность выражений к определенным категориям значения. Однако и в формализованных языках, как увидим ниже, вводятся знаки, типология значений которых не детерминируется однозначно семантическими правилами. В этом случае не действует основной принцип.

В случае естественных языков речь идет именно об осмысленных предложениях и при этом принимается, что мы каким-то особым образом умеем (и притом эффективно) выделять таковые — хотя правила синтаксиса этого обеспечить не могут. (Сравни, напр., предложения: «Лист зеленый», «Дух зеленый», «11 — простое число», «Цезарь — простое число», «Глокая куздра бокранула бокренка».) Затем производим в них замену одних выражений на другие — с сохранением осмысленности предложений. Тогда либо приходится принимать мистическую способность «обозрения» бесконечного ряда замен в такого рода контекстах, либо принимать основной принцип. Иначе не возможно реализовать задачу однозначного отнесения выражений естественного языка к определенным семантическим категориям.

Вопрос об основном принципе теории семантических категорий приобретает особое значение при построении семантик для формализованных языков бесконечного порядка.

Согласно Тарскому, возможны два подхода, два пути введения семантических понятий: 1) семантические понятия (например, понятие истинного высказывания) вводятся в метаязык как первичные, исходные, а их свойства определяются системой аксиом; 2) семантические понятия вводятся посредством определений.

В первом случае семантическая теория строится как самостоятельная дедуктивная теория с собственной системой аксиом и требуется специальное доказательство непротиворечивости построенной теории. Возникает также проблема полноты этой теории: достаточно ли введенных аксиом для того, чтобы все существенные утверждения относительно рассматриваемого понятия (напр., закон исключенного третьего и т.п.) выводились из аксиом системы?

Согласно второму подходу, метатеория в качестве первичных, неопределяемых терминов не содержит никаких семантических терминов, относящихся к объектному языку. В этом случае к метаязыку данного объектного языка предъявляются следующие требования:

(1) В нем имеются средства для описания синтаксических свойств объектного языка, в частности имеются средства для построения имен выражений объектного языка.

(2) Метаязык долен быть настолько богат, чтобы для каждой формулы объектного языка существовала формула метаязыка, являющаяся переводом первой; другими словами, все то, что можно утверждать в терминах объектного языка, может быть сказано в метаязыке.

(3) Метаязык должен содержать логическую часть не менее богатую, чем в объектном языке.

(4) Когда мы строим определение понятия «истинное высказывание в L», где L — некоторая объектная теория, то для построения этого определения не играет роли, каковы правила преобразования системы L. Но система ML, в которой строится определение истинности для L, должна содержать систему аксиом и правил вывода, достаточную для того, чтобы с их помощью и на основе определения истинности можно было бы доказать каждый частный случай подстановки в схему (1), если мы хотим, чтобы введенный по определению предикат «истинно» был материально адекватным*.

(5) Существенным для метаязыка является то, что в нем, помимо переменных тех же самых семантических категорий, что и в объектном языке, должны быть дополнительные переменные, принадлежащие к более высокому порядку.

При наличии указанных условий в метаязыке могут быть определены такие семантические понятия, как понятия выполнимости, истинности высказываний, определимости свойств и отношений и т.д. Сам факт возможности определения семантических понятий (хотя бы для формализованных языков) на базе несемантических понятий имеет важный философский смысл и, кроме того, играет особо существенную роль в разработке методологии дедуктивных наук. Преимущество указанного пути построения семантики состоит в том, что мы получаем своего рода «гарантию», что связанные с употреблением семантических терминов парадоксы не появятся в этом случае. Если несемантическая часть метаязыка непротиворечива, то добавление семантических терминов, вводимых указанным путем по определению, не ведет к противоречию. При аксиоматическом же способе построения семантики такой уверенности нет, и нужно дополнительное доказательство непротиворечивости вводимой системы аксиом.

Однако указанная элиминация семантических терминов возможна лишь при условии, что метаязык существенно богаче объектного языка и в том смысле, что выражения объектного языка переводимы в метаязык, и главное — в том смысле, что метаязык дополнительно содержит переменные категорий более высокого порядка.

Для формализованных языков конечного порядка может быть построено в метаязыке формально корректное и адекватное определение понятия истинности (истинного высказывания) на основе только выражений общелогического характера, выражений самого объектного языка, а также выражений, принадлежащих синтаксису языка. Можно ли построить таким путем определение понятия истинности для любых формализованных языков, и какую при этом роль играет теория семантических категорий?

Для языков бесконечного порядка построить определение понятия истинного высказывания указанным выше способом в принципе невозможно — если метаязык языка бесконечного порядка также построен на базе теории семантических категорий, выполняется основной принцип этой теории и порядок семантических категорий устанавливается стандартным образом. В случае языков бесконечного порядка метаязык не может быть существенно богаче объектного языка — в том плане, что метаязык не может содержать переменные, принадлежащие более высокому порядку, чем переменные объектного языка.

Дело не в том, что не «срабатывают» методы многострочных последовательностей и даже семантической унификации переменных. Тогда вопрос встал бы о поиске иных методов, позволяющих построить определение понятия истинного высказывания, отвечающего условиям конвенции. Трудности в данном случае носят принципиальный характер, связаны с характером семантических понятий.

Для достаточно богатых языков — языков, содержащих рекурсивную арифметику, — синтаксис может быть описан в самом языке, но семантические понятия, в том числе понятие истинности, в нем не выразимы — не являются семантически определимыми в нем [8, VI], [6]. Таким образом, трудности, связанные с определением истинного высказывания для языков бесконечного порядка носят принципиальный характер.

Если бы можно было для языка бесконечного порядка построить в соответствующем метаязыке — также построенном на основе теории семантических категорий и принятой иерархии порядков — определение понятия «истинное высказывание» на базе только несемантических терминов, то вновь возродился бы парадокс Лжеца, поскольку в этом случае можно погрузить метаязык в объектный язык. К такому выводу приходит А.Тарский [7, § 5].

Однако сказанное не означает, что для языков бесконечного порядка нельзя ввести в соответствующем метаязыке понятие истинного высказывания. Но этот термин уже не вводится через несемантические термины, в метаязыке принимаются аксиоматически описываемые некоторые исходные семантические термины. Такая возможность аксиоматического построения семантики объектного языка в соответствующем метаязыке, указанная Тарским, была реализована рядом логиков. Однако при таком подходе открытым остается вопрос, не является ли таким образом построенная семантическая теория противоречивой. Возникает также проблема полноты и категоричности теории. Дедуктивных средств метатеории может быть недостаточно для доказательства наиболее важных теорем, касающихся рассматриваемых семантических понятий.

Закрыт ли описанный путь введения семантических понятий посредством определений для языков бесконечного порядка и какую роль играет в этом вопросе теория семантических категорий и ее основной принцип? Если в естественных языках принятие основного принципа теории семантических категорий связано с разграничением стабильных и контекстно-зависимых значений, то в случае формализованных языков речь может идти, казалось бы, только о стабильных, не меняющихся в зависимости от контекста значениях, задаваемых только правилами интерпретации системы.

В приложении к немецкому изданию своей работы А.Тарский приходит к выводу, что не обязательно все формализованные языки строятся в соответствии с теорией семантических категорий так, чтобы выполнялся основной принцип этой теории. «...В этой связи мне теперь представляется интересным и важным исследовать, каковы будут следствия для основной проблемы данной работы, если мы включим в область рассмотрения формализованные языки, в которых больше не действует основной принцип теории семантических категорий» [8, 268] (выделено мной. — Е.С.).

Но и для этих языков понятие порядка играет по-прежнему существенную роль. Однако, поскольку основной принцип теории семантических категорий не действует, может оказаться, что один и тот же знак выполняет роль функтора в нескольких функциях высказывания, в которых однако аргументы, занимающие одинаковые места, принадлежат тем не менее, к различным порядкам. Если все аргументы во всех функциях высказывания, в которых встречается функтор, имеют порядок меньше определенного натурального числа n, то и рассматриваемому функтору приписывается конечный порядок — натуральное число n (если по крайней мере в одной из этих функций высказывания порядок по крайней мере одного из аргументов в точности равен n-1); все такого рода функторы являются знаками конечного порядка.

Однако в языках могут встречаться функторы, аргументы которых, хотя и имеют конечный порядок, но этот порядок не ограничен сверху никаким натуральным числом m (например, знак «I » в простой теории типов). Подобного рода знакам будет приписываться бесконечный порядок. Для того, чтобы подразделить знаки бесконечного порядка, Тарский использует трансфинитные порядковые числа. Тем знакам бесконечного порядка, которые являются функторами функций высказывания, в которых аргументы принадлежат только к конечным (хотя может быть и различным в различных пропозициональных функциях) порядкам, приписывается в качестве порядка наименьшее трансфинитное порядковое число w . Общее определение порядка следующее: порядок определенного знака есть наименьшее порядковое число, которое больше, чем порядки всех аргументов во всех функциях высказывания, в которых данный знак выступает в качестве функтора.

По-прежнему языки подразделяются на языки конечного и языки бесконечного порядка. Каждому языку в качестве его порядка может быть поставлено в соответствие вполне определенное порядковое число (которое превосходит порядки всех встречающихся в языке переменных). Так, языку общей теории классов в качестве его порядка ставится в соответствие наименьшее трансфинитное порядковое число w . Однако все переменные этого языка имеют определенный конечный порядок.

Из сказанного не следует, что во всех исследуемых языках каждая переменная принадлежит к одному определенному порядку. Именно с целью обогащения выразительных возможностей языков так, чтобы они превосходили выразительные возможности рассматриваемого типа языков, как конечного так и бесконечного порядка, приходится отказываться от существенного ограничения — употреблять переменные только определенного порядка. В рассмотрение вводятся языки с переменными, которые «пробегают», так сказать, по всем возможным порядкам. В то же время и для такого рода языка, как отмечает А.Тарский, понятие порядка не теряет своего значения.

Однако от рассмотренного типа языков «всего один шаг до языков иного рода». В этих языках все переменные имеют неопределенный порядок. С формальной точки зрения, считает Тарский, эти языки имеют простую структуру и их можно причислять к языкам 1-го типа [8, с. 271]. Переменные в этих языках принадлежат к одной семантической категории в силу взаимозаменимости и условия отнесения выражений языка к одной семантической категории, рассмотренного выше. Для такого рода языков понятие порядка теряет свое значение применительно к выражениям языка. Однако понятие порядка может быть применено к объектам, индивидам и классам. Порядком любого множества выступает наименьшее порядковое число, которое больше, чем порядки элементов этого множества. Введение в рассмотрение языков с переменными неопределенного порядка позволяет вовлечь в сферу рассмотрения более широкий класс языков и поставить вопрос о возможности определения понятия истинного высказывания методом Тарского для языков бесконечного порядка. В число такого рода языков попадают языки теории множеств, свободные от теории типов, к ним относится теория множеств Цермело и различные ее модификации: теория множеств Цермело-Френкеля, Бернайса-Неймана и др. Однако, допущение в языках переменных неопределенного порядка не безобидно — возникает опасность появления антиномий типа известной расселовской антиномии множества всех множеств, не содержащих себя в качестве собственного элемента. Чтобы избежать возникновения такого рода антиномий накладываются определенные ограничения на правила преобразования системы.

Заметим, что ситуация с переменными неопределенного порядка аналогична положению с выражениями естественного языка, значения которых контекстно зависимы: либо мы относим их к определенным, но разным категориям, либо должны рассматривать выражения неопределенных категорий.

Переменные трансфинитного порядка могут вводиться не только в объектные языки, но и в метаязыки, предназначенные для их описания, Последнее имеет решающее значение для исследуемой проблемы; метод определения истинности, предложенный Тарским, распространяется и на языки бесконечного порядка, ибо теперь для каждого объектного языка можно построить метаязык более высокого порядка. В качестве метаязыка могут выступать языки с переменными неопределенного порядка, типа цермеловской теории множеств. Дж.Кемени построил определение понятия истинности простой теории типов Т (т.е. языка бесконечного порядка) в цермеловской теории множеств Z, в языке, свободном от теоретико-типовой иерархии. Кроме того, Кемени показал, что доказательство непротиворечивости Т может быть построено в Z.

Таким образом, Тарский приходит к заключению, что для любого языка в метаязыке может быть построено формально правильное и материально адекватное определение истинного высказывания посредством только выражений общелогического характера, выражений самого языка и выражений из морфологии языка, т.е. выражений, относящихся к синтаксическому описанию объектного языка.

Однако при этом остается в силе основной результат Тарского — метаязык, адекватный для построения семантики должен быть существенно богаче объектного языка, т.е. должен содержать переменные более высокого порядка.

Основное значение работы Тарского состоит не только в том, что он предложил определенное уточнение понятия истинности и построил формально корректное определение понятия «быть истинным высказыванием системы L», отвечающее всем требованиям материальной адекватности, сформулированным в схеме (1), — подобный результат сам по себе интересен с точки зрения разработки методологии дедуктивных наук, с точки зрения анализа выразительных возможностей, средств и методов дедуктивных теорий. Однако основное значение работы — прежде всего в том, что Тарский дал определенный строгий метод построения семантической теории (теории референции), при котором семантические понятия теории вводятся посредством определений и могут быть элиминированы — путь, гарантирующий от возникновения семантических антиномий.

Литература

1. Кондильяк Э. Логика, или начала искусства мыслить, М., 1983.

2. Смирнова Е.Д. Формализованные языки и проблемы логической семантики. М., 1982.

3. Смирнова Е.Д. Логика и философия. М., 1996.

4. Соссюр Ф. Труды по языкознанию. М., 1977.

5. Go del K. Uber formal unentscheidbare Sa tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme // Monatshefte fu r Mathematik und Physic, B.38, 1931.

6.Mostowski A. Sentences undecidable in formalized Arithmetic. An exposition of the theory of Kurt Go del. Amsterdam, 1952.

7. Tarski A. Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen // Studia Philosophica, 1933, Bd. 1, S. 261-405.

8. Tarski A. Logic, Semantics, Metamathematics. Oxford, 1956.